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Ich wage zu behaupten, dass es mehr reelle Zahlen gibt, die keine Elemente der rationalen Zahlen sind, als es rationale Zahlen gibt. Warum? Weil es zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen unendlich viele reelle Zahlen geben dürfte.
EDIT: Zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen muss nur mehr als eine reelle Zahl existieren und nicht unbedingt unendlich viele, damit meine Behauptung stimmt.
EDIT2: Eine Zahl die obige Voraussetzungen erfüllt, besitzt unendlich viele Nachkommastellen, welche sich nicht in ihrer Abfolge wiederholen. Eine periodische Zahl lässt sich durch einen Bruch darstellen und besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Wenn eine einzelne dieser Stellen verändert oder hinzugefügt wird, ist die Zahl nicht mehr periodisch und damit nicht mehr rational. Für jede denkbare periodische rationale Zahl existieren demnach unendlich viele nicht rationale Varianten.
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Wenn man bei einer rationalen Zahl mit unendlich Nachkommastellen eine einzelne Nachkommastelle verändert, dann kann sie trotzdem noch rational sein, weil aus 5/3=1,66666… wird dann z.B. 7/6=1,16666….
Da folgen immernoch unendlich weitere Nachkommastellen, die verändert werden können. Was passiert, wenn die letzte (unendlichste) oder die letzten beiden verändert werden? Wir sind hier in einem Bereich wo es um verschiedene Unendlichkeiten geht. Da ist vieles sehr schnell kontraintuitiv und ich werde das ganze jetzt nicht mit mathematischen Definitionen beweisen. Wenn wir allerdings von rationalen Zahlen der Form a/b ausgehen, mit u und v den Größenordnungen von a und b, dann gibt es 10^(u+v) mögliche rationale Zahlen mit diesen spezifischen Größenordnungen von a und b. Wenn nur die letzte Stelle verändert wird, dann gibt es 9·10^(u+v) reelle Zahlen mit dieser Eigenschaft. D.h. für jede denkbare rationale Zahl lassen sich mehr reelle konstruieren.
Können wir uns auch darauf einigen, dass es keine eindeutige Antwort gibt, ob es mehr reelle als rationale Zahlen gibt? Denn es gibt unendlich rationale Zahlen und es gibt nichts, das größer als unendlich ist.
Ne, davon hab ich noch nichts gehört.
Warum hat @MagicBookworm63 meine Frage noch nicht beantwortet?
Eine abzählbare unendliche menge lässt sich mit den natürlichen Zahlen durchnummerieren. Eine überabzählbare unendliche Menge hat mehr Elemente. Das sind schonmal zwei verschiedene Unendlichkeiten, von denen eine Größer als die andere ist. Natürlich kann man die "Größe" mancher unendlicher Mengen vergleichen. 
Und das um 01:00 Uhr... Vielleicht sollten wir mit einer Definition von Zahlen anfangen!
Das wollte ich auch anmerken, dachte aber, es hätte Zeit...
Interessant finde ich auch, dass es unendliche Summandenfolgen gibt, deren Summe einen endlichen Wert ergibt, etwa 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... = 2 .
Uj, das wird schwierig. Als erstes würde ich mal als Hypothese setzen: „Zahlen sind Werte, die eine Größe bezeichnen. Ihre Grundlage ist das Abzählen von Dingen, was auf weniger einfache Zahlen jedoch nicht mehr direkt anwendbar ist.“ Was würdet ihr dazu sagen?
Auch die bezeichnen letztlich eine Größe, die aus einer Multiplikation einer rellen Zahl mit der imaginären Einheit bzw. einer Addition aus einem rellen und einem imaginären Teil besteht.
Und auch zumindest abzählbar unendlich bezeichnet eine Größe und eine Anzahl, auch überabzählbar wäre zumindest noch eine Größe, da ebendiese Eigenschaft, wie @fscript festgestellt hat, ja verglichen werden kann. Unendliche Mengen sind unterschiedlich groß, besitzen also grundsätzlich auch eine Größe.
Und auch zumindest abzählbar unendlich bezeichnet eine Größe und eine Anzahl, auch überabzählbar wäre zumindest noch eine Größe, da ebendiese Eigenschaft, wie @fscript festgestellt hat, ja verglichen werden kann. Unendliche Mengen sind unterschiedlich groß, besitzen also grundsätzlich auch eine Größe.
Ja. Ich mag 3 auch sehr, noch mehr aber, wie gesagt, die Folgenden:
Wobei 3 theoretisch dazugehört, wenn man n = 0 erlaubt, weil dann 3 = 2^0 * 3 möglich wäre, ich würde das aber nicht tun, weil x^0 = 1 für jede reelle Zahl gilt und daher eine gewisse Beliebigkeit hat. Ich meine das übrigens tatsächlich komplett ernst, auch wenn ich diese Vorliebe für manche Zahlen nicht erklären kann.
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