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Was für eine Unendlichkeit? Wie viele Komplexe Zahlen passen zwischen 1 und 3? :D
Und welche Metrik eigentlich?
 
Gibt es eigentlich mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen? Beide „Arten“ gibt es unendlich oft, aber während jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist, gibt es reelle Zahlen, die keine rationale Zahlen sind.
 
maua1 schrieb:
Gibt es eigentlich mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen? Beide „Arten“ gibt es unendlich oft, aber während jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist, gibt es reelle Zahlen, die keine rationale Zahlen sind.
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Ich wage zu behaupten, dass es mehr reelle Zahlen gibt, die keine Elemente der rationalen Zahlen sind, als es rationale Zahlen gibt. Warum? Weil es zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen unendlich viele reelle Zahlen geben dürfte.

EDIT: Zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen muss nur mehr als eine reelle Zahl existieren und nicht unbedingt unendlich viele, damit meine Behauptung stimmt.

EDIT2: Eine Zahl die obige Voraussetzungen erfüllt, besitzt unendlich viele Nachkommastellen, welche sich nicht in ihrer Abfolge wiederholen. Eine periodische Zahl lässt sich durch einen Bruch darstellen und besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Wenn eine einzelne dieser Stellen verändert oder hinzugefügt wird, ist die Zahl nicht mehr periodisch und damit nicht mehr rational. Für jede denkbare periodische rationale Zahl existieren demnach unendlich viele nicht rationale Varianten.
 
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fscript schrieb:
Ich wage zu behaupten, dass es mehr reelle Zahlen gibt, die keine Elemente der rationalen Zahlen sind, als es rationale Zahlen gibt. Warum? Weil es zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen unendlich viele reelle Zahlen geben dürfte.

EDIT: Zwischen jedem paar benachbarter rationaler Zahlen muss nur mehr als eine reelle Zahl existieren und nicht unbedingt unendlich viele, damit meine Behauptung stimmt.

EDIT2: Eine Zahl die obige Voraussetzungen erfüllt, besitzt unendlich viele Nachkommastellen, welche sich nicht in ihrer Abfolge wiederholen. Eine periodische Zahl lässt sich durch einen Bruch darstellen und besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Wenn eine einzelne dieser Stellen verändert oder hinzugefügt wird, ist die Zahl nicht mehr periodisch und damit nicht mehr rational. Für jede denkbare periodische rationale Zahl existieren demnach unendlich viele nicht rationale Varianten.
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Wenn man bei einer rationalen Zahl mit unendlich Nachkommastellen eine einzelne Nachkommastelle verändert, dann kann sie trotzdem noch rational sein, weil aus 5/3=1,66666… wird dann z.B. 7/6=1,16666….
 
Da folgen immernoch unendlich weitere Nachkommastellen, die verändert werden können. Was passiert, wenn die letzte (unendlichste) oder die letzten beiden verändert werden? Wir sind hier in einem Bereich wo es um verschiedene Unendlichkeiten geht. Da ist vieles sehr schnell kontraintuitiv und ich werde das ganze jetzt nicht mit mathematischen Definitionen beweisen. Wenn wir allerdings von rationalen Zahlen der Form a/b ausgehen, mit u und v den Größenordnungen von a und b, dann gibt es 10^(u+v) mögliche rationale Zahlen mit diesen spezifischen Größenordnungen von a und b. Wenn nur die letzte Stelle verändert wird, dann gibt es 9·10^(u+v) reelle Zahlen mit dieser Eigenschaft. D.h. für jede denkbare rationale Zahl lassen sich mehr reelle konstruieren.
 
fscript schrieb:
Da folgen immernoch unendlich weitere Nachkommastellen, die verändert werden können. Was passiert, wenn die letzte (unendlichste) oder die letzten beiden verändert werden? Wir sind hier in einem Bereich wo es um verschiedene Unendlichkeiten geht. Da ist vieles sehr schnell kontraintuitiv und ich werde das ganze jetzt nicht mit mathematischen Definitionen beweisen. Wenn wir allerdings von rationalen Zahlen der Form a/b ausgehen, mit u und v den Größenordnungen von a und b, dann gibt es 10^(u+v) mögliche rationale Zahlen mit diesen spezifischen Größenordnungen von a und b. Wenn nur die letzte Stelle verändert wird, dann gibt es 9·10^(u+v) reelle Zahlen mit dieser Eigenschaft. D.h. für jede denkbare rationale Zahl lassen sich mehr reelle konstruieren.
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Können wir uns auch darauf einigen, dass es keine eindeutige Antwort gibt, ob es mehr reelle als rationale Zahlen gibt? Denn es gibt unendlich rationale Zahlen und es gibt nichts, das größer als unendlich ist.
 
Hast du schonmal etwas von abzählbar und überabzählbar gehört? Unendlich ist nicht gleich unendlich.
 
Eine abzählbare unendliche menge lässt sich mit den natürlichen Zahlen durchnummerieren. Eine überabzählbare unendliche Menge hat mehr Elemente. Das sind schonmal zwei verschiedene Unendlichkeiten, von denen eine Größer als die andere ist. Natürlich kann man die "Größe" mancher unendlicher Mengen vergleichen. :)
 
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