"Kleiner" mathematischer Anschlag für Mathecracks unter euch

DerSetra

Spieler
19 März 2016
454
Da ich mich z.z. mit der Theorie der Brenn- bzw Kühlkurven für Glas beschäftige, spielt die Wärmedehnung immer eine große Rolle, aber ich stehe da gerade vor einem Problem,
das vielleicht nur auf einem banalen Denkfehler gründet?

nach Lehrbuch dehnt sich ein Stab bei einem Temp. Wechsel auf
l1 = l0 x (1 + alpha x (T1 - T0)) [#1]

bringt man ein identischen Stab mit der Länge l1 von der Temp. T1 auf
T0, also
l2 = l1 x (1 + alpha x (T0 - T1)) [#2]
man könnte also Denselben einfach wieder abkühlen (es sei T1>T0) ...

aber dann hätte ich doch:
l2 = l0 x (1 + alpha x (T1 - T0)) x (1 + alpha x (T0 - T1))
l2 = l0 x (1 - [alpha x (T1-T0)]^2) [#3]

und wenn ich das noch mehrmals wiederhole:
l2 = l0 x (1 - [alpha x (T1-T0)]^2)^n [#3.1]

ist das noch niemand aufgefallen???
oder doch ein logischer Fehler, aber wo???

ich bin ja versucht, die Formel umzuschreiben:
l1 = l0 x e^(gamma x (T1-T0)) [#4]
mit
gamma = ln (1 + alpha x delta T) / delta T ~= alpha [#4.1]
dann wäre dieses Symetrieproblem doch behoben?

Also, falls ihr Zeit und Lust habt...

Gruß Setra
 
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Ahoi,
Physikstudent zur Stelle!
Nein, du hast da nichts falsch umgeformt. Die Formel ist einfach nicht toll und berücksichtigt auch keine Temperaturabhängigen Ausdehnungskoeffizienten. Kann es sein dass du deine Formel aus Wikipedia hast?

L_1 = L_0 x (1 + alpha x Delta T) (*)

Gilt nur für Positive Delta T.
Für negative müsste man die abändern und hässlich bleib die Formel! :D
Und eine Taylor-Näherung!

Guck mal da:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ausdehnungskoeffizient

Da wird eine Formel angegeben, ähnlich wie deiner unteren [#4]:
L(T)=L(T_0) x exp([Integral von T_0 nach T] alpha(T) dT)

Also für alpha = const.
L_1 = L_0 x exp(alpha x Delta T) (**)

exp(x) := e^x

Liebe Grüße
fscript
 
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Das kommt eben dabei heraus, wenn man sich mit sowas beschäftigt und noch in die 12. Klasse geht:p
Vielen Dank erstmal, ich werde mir das Morgen genauer ansehen!
 
Deine Formel (*) ist eine Taylor Näherung von (**), wie oben schon geschrieben. D.h. Du näherst deine Formel (**) dadurch an, dass du folgendes machst (ganz grob): (**) = k_0*1 + k_1*x + k_2*x^2 + k_3*x^3 + ...
Eine Taylornäherung 1. Grades wäre dann die Formel (*) = k_0 + k_1*x
Das heißt, du näherst deine Exponentialfunktion durch eine Lineare an. Was natürlich dann einen Fehler gibt, den du festgestellt hast. ;)
k_n mit n=1,2,3,4,5,.... sind (hier) nicht näher definierte Konstanten.

Liebe Grüße
fscript

Zur Taylornäherung: Man findet sie auch bei der Herleitung des Fadenpendels an der Stelle an der man sin(α) ≈ α nimmt, sofern es sich um kleine Winkel handelt.
 
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